Tetraeder-Tetris: Noch ein Rekord, der im Sylvester-Knallen unterging

Wie dicht kann man gleich-große reguläre Tetraeder im Raum packen? Aristoteles soll behauptet haben, dass es eine perfekte Packung gibt, in der sie den Raum zu 100% ausfüllen. Der Irrtum hielt sich immerhin fast 1800 Jahre, bis Johannes Müller, genannt Regiomontanus (1436-1476), den Irrtum aufdeckte. Also sind 100% nicht zu erreichen, aber wie dicht kann man Tetraeder packen? Würfel lassen eine perfekte Packung zu (die man in Würfelzucker-Packungen bestaunen kann). Mit gleichgroßen Kugeln kann man den Raum nur zu 74,05% ausfüllen: die optimale Packung ist leicht zu konstruieren (Obsthändler verwenden sie auf dem Markt, um Orangen zu stapeln), aber der Beweis, dass die “offensichtliche” Packung optimal ist, war schwierig – das war die “Kepler-Vermutung”, von Johannes Kepler 1611 aufgestellt, und erst 1998 von Thomas Hales mit massiver Computerhilfe bewiesen. (Eine umkämpfte und umstrittene Lösung ….)

Aber reguläre Tetraeder? Wie dicht kann ein “Sand” sein, dessen Körnchen lauter gleich-große, regelmäßige Tetraeder sind?  

Das Problem ist noch recht einfach, wenn man annimmt, dass alle Tetraeder die gleiche Ausrichtung im Raum haben, und zudem gitterförmig angeordnet sind. Dann füllt die dichteste mögliche Packung lediglich 36,73% des Raums aus:

Conway+Torquato PNAS 2006 Gitterpackung

(Die dichteste Tetraeder-Gitterpackung: Abbildung aus Conway & Torquato, PNAS 2006.)

Wenn man auf die „Gitterstruktur“ verzichtet, dann wird die Packung dichter, und komplizierter. Und wenn man auch noch erlaubt, die Tetraeder zu drehen, dann wird’s richtig kompliziert. Tetraeder-Tetris: man kann versuchen, geschickt zu drehen, um Lücken zu füllen. Aber wie dicht kann man den Raum dann ausfüllen?

Das Problem geriet erst vor kurzem ins Zentrum der Forschung – und wurde Gegenstand eines Wettrennens, an dem sich Wissenschaftler (und Wissenschaftlerinnen!) aus ganz unterschiedlichen Disziplinen beteiligt haben, und über das die New York Times kürzlich berichtet hat. (Dieser Bericht war auch der Ausgangspunkt für diesen Blog…) Startschuss: 2006 haben John H. Conway, ein legendärer Mathematiker aus Princeton, und Salvatore Torquato, ein Chemiker an derselben amerikanischen Eliteuniversität, des Problems angenommen, und ein bemerkenswert schlechtes Ergebnis erzielt und in den Proceedings of the National Academy of Sciences publiziert: Sie kamen über 72% des Raums nicht hinaus – schlechter als die optimale Kugelpackung. 

Dies konnte Paul M. Chaikin nicht glauben, ein Physiker von der New York University: Er kaufte eine große Mengen von tetraederförmigen “Würfeln” (wie sie für das Brettspiel “Dungeons & Dragons” verwendet werden), und ließ Schüler damit experimentieren. Für Aquarien voller kleiner Tetraeder kamen sie (mit etwas Schütteln) deutlich über 72% hinaus. Aber das sind Experimente, die Mathematiker nicht als Beweis akzeptieren können – schon deshalb, weil die verwendeten Plastik-Tetraeder natürlich leicht abgerundete Ecken und Kanten haben, also keine mathematisch-idealen Tetraeder sein können.

Zur selben Zeit in Michigan … setzte der Mathematiker Jeff Lagarias (ein exzellenter und ausgesprochen vielseitiger Zahlentheoretiker und Geometer) seine Doktorandin Elisabeth Chen auf das Problem an: “Wenn Du Conway und Torquato übertreffen kannst, dann ist das sehr gut für Dich!” soll er ihr gesagt haben. Chen setzte sich ans Werk, analysierte viele verschiedene mögliche Konfigurationen, und kam im August 2009 schließlich auf immerhin 78% [arXiv:0908.1884] Und Lagarias wollte das gar nicht glauben! 

Zur selben Zeit … an der selben Uni, aber in der Fakultät für Verfahrenstechnik (“Chemical Engineering”) interessierte sich Professor Sharon C. Glotzer für Tetraederpackungen: Sie und ihre Kollegen wollten sehen, ob sich Tetraeder in kristallinen Strukturen anordnen, wie sie das aus Flüssigkeitskristallen kannten. Dafür schrieben sie Computerprogramme, um das Schütteln und Anordnen von Tetraedern zu simulieren – und fanden eine regelmäßige (aber komplizierte Struktur), die aus Wiederholungen eines Grundmusters von 82 Tetraedern bestand. Kompliziert, aber dicht: 85,03%! Während die Ergebnisse zur Publikation in Nature vorbereitet wurden, kamen Konkurrenten aus der Deckung: Kallus, Elser & Gravel von der Eliteuniversität Cornell im Staat New York fanden eine viel einfachere Packung [arXiv:0910.5226], in der sich eine Konfiguration aus nur 4 Tetraedern wiederholt. (Nicht klar ist, warum dieses einfache Muster in den Simulationen von Sharon Glotzer nicht aufgetreten war.) Dichte: 85,47%.

Aber das Rennen ging weiter – kurz vor Weihnachten brachte es Salvatore Torquato mit seinem Doktoranden Yang Jiao auf 85,55%: die beiden hatten die Cornell-Lösung unter die Lupe genommen und leicht verbessert [arXiv:0912.4210]. War das nun das Ende der Fahnenstange?

Nein! Am 26. Dezember schlug Elisabeth Chen zurück: Ihr Preprint, kurz nach Sylvester im arXiv eingereicht [arXiv:1001.0586] (gemeinsame Arbeit mit der schon erwähnten Sharon Glotzer und Michael Engel aus dem Chemical Engineering Department) beschreibt eine weitere Verbesserung des Cornell-Kristalls, die durch systematische Optimierung gewonnen wurde.

Tetraeder Ausschnitt N=16 aus dem Aufsatz von Chen et al., rotiert

(Abbildung aus dem Aufsatz von Chen et al.: optimierte Konfiguration von N=16 Tetraedern, in der sich eine bestimmte Konfiguration von zwei Doppeltetraedern wiederholt.)

Dichte: 85,6347%. Und das ist der aktuelle Rekord – soweit ich weiß.

Wo liegt das Ende der Fahnenstange? Das weiß ich nicht, und offenbar gibt es überhaupt keine guten Abschätzungen, wie weit man vom Optimum entfernt sein könnte. Vielleicht sind die 85,6347% optimal, vielleicht geht es viel besser. Jetzt sind obere Schranken gefragt, und die sind nicht durch Konstruktionen zu gewinnen, sondern erfordern wohl ganz andere mathematische Methoden. Ich erwarte, dass jetzt ein Wettrennen vom anderen Ende her beginnt: Wer kann zeigen, dass mehr als 95% mit gleich-großen Tetraedern nicht zu erreichen sind?

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